В большинстве случаев решения уравнений предельного равновесия могут быть получены только приближенными численными методами. В качестве общего численного метода интегрирования уравнений предельного равновесия В. В. Соколовский применил удобный для этих целей метод конечных разностей. При построении сетки линий скольжения и определении значений С и у может встречаться три случая.

1. В точках J я 2, расположенных на заданной кривой или прямой 1—2 (рис. 9.9, а) или же на двух кривых скольжения разных семейств, известны значения х, z, С и ц. Требуется определить эти величины в точке 3 на пересечении кривых скольжения двух семейств. В основной системе уравнений (9.22) и (9.23) можно бесконечно малые приращения переменных приближенно заменить конечными приращениями, т. е. dz« z3 — zlt йхж х3—хх, d^« С3 — ti и d-ц — т]з — гц. Тогда выражения (9.22) для первого семейства кривых скольжения можно представить в виде

2. Для узлов сетки скольжения, смежных с особой точкой (рис. 9.10), приходится по известным значениям координат х, г в
узлах 1 и 2, расположенных на одной линии скольжения, и известным значениям С и ц в точке 2 определять величины х, z, ? и ц в узле 5, т. е. на пересечении кривых скольжения, проходящих через узлы.

Для получения решения проведем линию скольжения /—Г" на бесконечно близком расстоянии от особой точки 1. Тогда во всех точках, отмеченных штрихами, в соответствии с зависимостью (9.35) следует считать величину г равной ее значению в узле Г, расположенном на крайней линии скольжения, т. е.

Таким образом, в особой точке 1 известны координаты х, z, значение Я и ряд значений Сдля кривых скольжения пучка. В результате по известным значениям в узлах 1 и 2 по формулам (9.46) и (9.47) определяют все искомые величины в узле 3.

3. Координаты х, г и функции ?, -п известны в точках /и2, расположенных на одной линии скольжения (рис. 9.11). Требуется найтизначения этих функций в точке 3, являющейся пересечением линии скольжения, проходящей через точку 2 (или 1) с какой-либо заданной прямой, проходящей через точку 1 (или 2).

Так как линия 1—3 не является линией скольжения, можно в зависимостях (9.44) и (9.45) использовать только условия (9.45) для второго семейства (характеристика 2—3).

В случае наклонной или горизонтальной граничной поверхности (1—3)
Среды координаты точки 3 связаны

Таким образом, полученные выражения (9.54) и (9.55) позволяют определить х3, z3, ?3 и 11з-

Аналогичным путем можно получить выражения для х3, z3, ?3 и % в случае, если точка 3 расположена на кривой скольжения первого семейства.