Наиболее типичной задачей о предельном равновесии грунтовой среды является определение несущей способности основания под действием нормальной или наклонной нагрузок. Например, в случае вертикальных нагрузок на основании задача сводится к тому, что на части поверхности основания (рис. 9.12) приложена заданная нагрузка р(х) и требуется установить, при какой пригрузке q(x) во всех точках основания возникает предельное напряженное состояние. При этом следует различать два рассмотренных ниже случая.

1. Случай минимального давления. При этом в зоне / составляющие возможного перемещения грунта направлены под влиянием приложенной нагрузки р(х) сверху вниз, а в зоне /// — снизу вверх , т. е. имеет место выпор грунта от нагрузки р(х) на отрицательной полуоси OD. В этом случае на оси OD определяется минимальное давление q(x), которое обеспечивает отсутствие выпора от нагрузки р(х).

2. Случай максимального давления. При этом в зоне I составляющие возможного перемещения грунта направлены снизу вверх, а в зоне 77/ — вниз, т. е. имеет место выпор от нагрузки q(x). В этом слу-чае определяется максимальное давление д(х), вызывающее начало выпора в сторону нагрузки р(х).Понятие о двух предельных состояниях (минимальном и максимальном давлениях) можно ярко пояснить на примере, предложенном С. А. Христиановичем, в виде рычажных весов (рис. 9.13), у которых перемещение чашек затруднено большим трением в подшипнике (1), т. е. для примера взяты «плохие» весы. Положим на правую чашку весов груз Р, а на левую Q. Если груз Q достаточно мал, то возможно преодоление трения в подшипнике, и нарушение равновесия со смещением груза Р вниз. В предельном равновесии это соответствует случаю минимального давления. Если при заданной величине груза Р на левую чашку весов положить достаточно большой груз Q, то, преодолевая силы трения в подшипнике, он может вызвать смещение груза Р вверх. В состоянии равновесия это соответствует случаю максимального давления. При заданной величине груза Р и значениях Q, меньших предельного максимального или больших предельного минимального, благодаря трению в подшипнике весы не реагируют на изменение груза Q, т. е. это соответствует отсутствию предельного состояния.

Рассмотрим более подробно решение задачи в случае минимального давления при вертикальной нагрузке р(х), приложенной к основанию, т. е. задачу по определению величины пригрузки q(x), обеспечивающей отсутствие выпора грунта (предельное равновесие) под действием заданной нормальной нагрузки р(х).

На границе при z = О и х> 0 (см. рис. 9.12) заданы напряжения oz = р(х) и ixz = 0, т. е. напряжения az и ах главные, причем ах = = oz и о2 — ох и поэтому угол 6 = 0. Тогда в соответствии с (9.25) граничные условия будут

Ha участке граничной поверхности OD, т, е. при z = 0 и х < 0, напряжения %xz = 0, а напряжения oz и ох неизвестны. Так как наибольшее главное напряжение сх = ох, то, учитывая зависимость (9.16),граничные условия на этом участке будут

ручного, так и машинного счета составляется или выпечатывается таблица (рис. 9.15), в которой горизонтальные строки соответствуют кривым скольжения второго семейства, а вертикальные — первого семейства. Обозначаем кривые скольжения второго семейства порядковыми номерами 1, 2, 3, ..., 10., увеличивающимися по мере удаления от особой точки О, как показано на рис. 9.14. Нулевая линия скольжения с узлами Оь 02, 03, ..., 0G соответствует линии скольжения второго семейства, находящейся на бесконечно маломрасстоянии от точки О. Кривые скольжения первого семейства обозначают 0, 1, 2,..., 80, начиная с наиболее удаленного узла на полуоси О А. Любой узел сетки можно обозначить индексами, соответствующими номерам кривых скольжения, на пересечении которых он находится. Например, (8.2) или (9.3), где первая цифра соответствует номеру кривой первого семейства, а вторая — номеру кривой второго семейства.

Вначале из граничных условий (9.64) определяют ? и ц в точках (10.0), (9.1), (8.2) ... (0.10) и в таблице (рис. 9.15) заполняют клетки типа Д. Затем из условий невесомости среды на бесконечно малом расстоянии от особой точки О по зависимостям (9.48) и (9.49) определяют %, Tf]2, ..., Tie и ?ь ?2, ..., ?в в точках 01} 02, ..., 06 как % = = Л» = ••• Ло - Ц (Ю.0); ?6 = С (20.0) = & - щ ?. = ?,— (Ct -— ?о)/5; С;1 = ?i — 2 (Ci — g0)/5 и т. д. В результате в таблице заполняют клетки типа О.

Последующий расчет состоит в определении х, zt ? и ц по рекуррентным формулам (9.46) и (9.47) и заполнении в таблице клеток типа • для всех областей / и 77 (рис. 9.14).

В области /// расчет необходимо начинать с узла (21.1), в котором я, ? и т) определятся по формулам (9.54), (9.55) и (9.65), а результат внести в клетку типа х . Затем по формулам (9.46) и (9.47) определяют искомые функции в узле (21.2) и заполняют клетку типа ® и т. д.

Таким образом, в таблице на рис. 9.15 клетки типа 9 соответствуют схеме расчета на рис. 9.9, а типа х схеме на рис. 9.11, а. В результате всего расчета будет получена сетка линий скольжения, показанная на рис. 9.16.

Зная на граничной поверхности OD в узлах величины ? и г), в соответствии с зависимостями (9.15) и (9.16) определимИскомая предельная минимальная нагрузка на отрицательной полуоси OD, обеспечивающая состояние равновесия, определится в соответствии с (9.66) и (9.61) как

или, обозначая Q = ог(1—sin
Таким образом, получен (рис. 9.16) закон распределения и величина нагрузки q{x), которая обеспечивает возникновение предельного напряженного состояния от заданной, в данном случае меняющейся по линейному закону, нагрузки р(х) при стремлении к выпору грунта в сторону отрицательной полуоси х, сопровождаемому опусканием поверхности грунта со стороны положительной полуоси х (в случае весов см. рис. 9.13, а).

Выше для примера были рассмотрены случаи нагружения основания только нормальными силами р(х) и действием объемных сил только собственного веса грунта. Может быть сравнительно легко учтен наклон нагрузки, т. е. наличие на границе заданных касательных напряжений. Кроме того, при использовании численных методов расчета может быть также учтено действие объемных фильтрационных (Ф) и сейсмических (5) сил, принимая в зависимостях (9.19)где Н — напорная функция; увзв — удельный вес взвешенного в воде грунта. Значения дН/дх и дН/dz должны быть предварительно определены из решения фильтрационной задачи, например, методом ЭГДА или аналитически. Динамические сейсмические силы, учитываемые здесь как статические воздействия, должны быть также заданы. Учету действия сейсмических сил в задачах теории предельного равновесия посвящен ряд работ П. И. Яковлева [43].

Кроме описанного выше общего метода решения задач теории предельного равновесия, требующего применения машинного счета, в практике проектирования используют упрощенные методы и приемы, позволяющие существенно облегчать расчеты. Наиболее часто применяемое упрощение заключается в использовании решений теории предельного равновесия в предположении невесомой грунтовой среды (7гр = 0)- Например, для случая минимального давления и равномерно распределенных нормальных нагрузок р и q (рис. 9.17, а), рассмотренного X. Рейсне-ром, задача решается особенно просто. В пределах областей / и III возникают простейшие предельные состояния, причем в зоне / минимальное или активное (см. рис. 9,5, а), а в зоне III максимальное или пассивное (см. рис. 9.5, б). В переходной зоне II в соответствии с решением Прандтля линии скольжения первого семейства — пучок прямых, а второго семейства— логарифмические спирали (см. рис. 9.8). Используя уравнения (9.38), (9.40) и (9.42), не представляет труда построить сетку линий скольжения и тем более по зависимости (9.69) определить искомую величину пригрузки q. Случай максимального давления будет зеркальным отображением схемы на рис. 9.17, а.

В случае невесомой связной среды, не обладающей трением (ср = = 0), в зоне Я линии второго семейства представлены окружностями (рис. 9.17, в), а при вертикальных нагрузках пригрузка определится по формуле q = р — с(п + 2), впервые полученной Л. Прандтлем.
В. В. Соколовским [27] предложено использовать результат сложения двух простейших решений: решения для случая невесомой среды, но обладающей трением и сцеплением (7гр = 0, с Ф 0, гр = 0) и решения для весомой среды, но лишенной сцеплений и пригрузки (Угр^О, с — 0, ср^О). Получаемая при этом погрешность идет в запас устойчивости.